Θ ά ν ο ς Τ ά σ ι ο ς
    Σημειώσεις και άρθρα για τα Μαθηματικά και την Εκπαίδευση

Σελιδες του ιστολογιου μου

Stéphane Hessel: Νέες και νέοι, εξοργιστείτε! Εξεγερθείτε!


Ποια είναι τα προβλήματα με τα οποία έρχεται αντιμέτωπη η νεολαία σήμερα;
Ο σημερινός κόσμος είναι γεμάτος κινδύνους για τη νεολαία. Οι αμφισβητήσεις των δικαιωμάτων είναι πολύ πιο δύσκολο να ανιχνευτούν πια. Κατά τη διάρκεια του πολέμου, τότε που ανήκα κι εγώ στη νεολαία, βρισκόμασταν αντιμέτωποι μ’ έναν ορατό εχθρό. Και η επόμενη γενιά είχε να αντιμετωπίσει ορατές αμφισβητήσεις: άρση του αποικιακού καθεστώτος, ολοκληρωτισμός, απαρτχάιντ… Σήμερα ζούμε σ’ έναν κόσμο, όπου η βία είναι ακόμα παρούσα. Πρέπει, όμως, να λάβουμε υπόψη την απειλή του καπιταλισμού όπως αυτός εφαρμόζεται σήμερα. Η νεολαία πρέπει να αντιληφθεί την αναγκαιότητα που υπάρχει ν’ αντισταθεί ενάντια στη φτώχεια, την εκμετάλλευση και την περιφρόνηση των εργαζομένων από τους έχοντες. Τέλος, υπάρχει μία ακόμα αμφισβήτηση: η επιδείνωση του πλανήτη μας. Αν δεν λάβουμε δραστικά μέτρα, σε 50 χρόνια μπορεί να μην είναι βιώσιμος για τον άνθρωπο.
Ποιες είναι οι συνέπειες των προβλημάτων της νεολαίας;
Οι κυβερνήσεις προσπαθούν να επιβάλουν ορισμένες συμπεριφορές, που είναι μάλιστα αντίθετες με τις Διακηρύξεις και τις Συνθήκες των Ανθρωπίνων Δικαιωμάτων. Συγκεκριμένα φυλετικές, θρησκευτικές ή φτωχές μειονότητες παραμελούνται από την κυβέρνηση στο όνομα της εθνικής ασφάλειας. Αυτή είναι απαράδεκτη συμπεριφορά απέναντι στη νεολαία που έχει γαλουχηθεί με τη Διακήρυξη Προστασίας Ανθρωπίνων Δικαιωμάτων. Κρύβουν πολλούς κινδύνους οι επιλογές που κάνουν οι κυβερνήσεις προκειμένου να παραμείνουν στην εξουσία ή να έχουν προνομιούχες σχέσεις με τους κεφαλαιοκράτες.

Θεωρείτε απαραίτητη τη δημιουργία Χάρτας Δικαιωμάτων Νεολαίας σε ευρωπαϊκό επίπεδο;
Από το 1989 έχει ψηφιστεί η Συνθήκη Προστασίας Δικαιωμάτων του Παιδιού, ωστόσο δεν υπάρχει καμία για τη νεολαία. Η προστασία της νεολαίας πρέπει να κατοχυρωθεί από τα κράτη και τους διεθνείς οργανισμούς. Το ερώτημα είναι τι θα περιλαμβάνει. Σήμερα η πλειοψηφία των νέων σπουδάζει. Ωστόσο, οι κυβερνήσεις αμελούν ότι παιδεία δεν σημαίνει απλώς μετάδοση της γνώσης, αλλά και της ηθικής και των κοινωνικών αξιών.

Είναι απαραίτητη η εξασφάλιση της δυνατότητας των νέων για μια ανεξάρτητη ζωή;
Έχουμε την πολιτική ευθύνη να εξασφαλίσουμε τις οικονομικές και κοινωνικές συνθήκες που θα επιτρέπουν την υλική ανεξαρτησία των νέων. Οι μακροχρόνιες σπουδές και η υψηλή ανεργία των νέων, ωστόσο, αποτελούν εμπόδιο. Οι κυβερνήσεις παραμένουν αδιάφορες στα αιτήματα των φοιτητικών συλλόγων και των νεολαιίστικων οργανώσεων.

Θεωρείτε ότι δίνεται χώρος συμμετοχής στη νεολαία στα κέντρα λήψης αποφάσεων σ’ εθνικό, ευρωπαϊκό και παγκόσμιο επίπεδο;
Η αποπολιτικοποίηση της νεολαίας σήμερα είναι ένα τεράστιο σφάλμα. Οι νέοι δεν πρέπει να γυρίσουν την πλάτη στην πολιτική. Δεν πρέπει να πειστούν ότι η πολιτική είναι άχρηστη. Όποιος εμπλέκεται με την πολιτική -φοιτητικοί σύλλογοι ή κόμματα- δεν σημαίνει ότι ενδιαφέρεται για τα προσωπικά του συμφέροντα και ότι θα πρέπει να εγκαταλείψει το όραμά του για ένα καλύτερο μέλλον. Η ιστορία έχει δείξει ότι οι πιο κρίσιμες πολιτικές περίοδοι ήταν εκείνες που οι νέοι και νέες αναλάμβαναν σημαντικές ευθύνες. Μόνο η νεολαία μπορεί να φέρει την ελπίδα. Οι νέοι άνθρωποι που αγωνίζονται σήμερα θα αποτελέσουν τα καλύτερα στοιχεία της αυριανής κοινωνίας.

Γιατί να εμπλακούν οι νέοι με την πολιτική;
Η γενιά μου έμαθε τη λέξη «αντίσταση», λόγω της κατοχής. Πιστεύω ότι η λέξη αυτή έχει την ίδια αξία και για τη σημερινή νεολαία. Η μεγαλύτερη νίκη, που μπορεί να πετύχει, είναι να μάθει να αγωνίζεται ενάντια σ’ ό,τι την προσβάλλει και να μάθει να οργανώνεται και να αντιστέκεται. Θα πρέπει, επίσης, να μάθουν τη διαφορά του νόμου και της νομιμότητας. Πολλές φορές ο νόμος κρύβει μέσα του οικονομικά και πολιτικά συμφέροντα. Η ανυπακοή σε αυτούς τους νόμους μπορεί να έχει την αστική νομιμότητα. Η νεολαία σήμερα έχει ένα ισχυρό εργαλείο, που εμείς δεν είχαμε: το διαδίκτυο, που διευκολύνει την οργάνωση εθνικών, ευρωπαϊκών και παγκόσμιων δικτύων αντίστασης.

Ποια η διαφορά της συμμετοχής της σημερινής νεολαίας στη πολιτική ζωή, με τη δική σας γενιά;
Μέχρι τα 20 μας δεν είχαμε καμία πολιτική συμμετοχή, πέρα των μαχών που δίναμε στο δρόμο, οι αριστεροί απέναντι στους δεξιούς. Η κατανόηση των πολιτικών προβλημάτων σήμερα γίνεται σε πιο μικρή ηλικία και αυτό είναι κάτι ελπιδοφόρο, γιατί έτσι η νεολαία μπορεί να καταφέρει περισσότερες ανατροπές. Όποτε μιλάω σε αμφιθέατρα, λέω στους φοιτητές: «Το πρώτο που πρέπει να καταλάβετε είναι τι σας εξεγείρει. Τι βρίσκετε δυσβάσταχτο στη ζωή σας, τη ζωή των φίλων σας, της οικογένειάς σας και των συνανθρώπων σας». Εκεί θα βρουν τις πρώτες πηγές για τα προβλήματα των πολιτών. Οι νέοι έχουν το δικαίωμα του εκλέγειν και εκλέγεσθαι από κάποια ηλικία και μετά. Ωστόσο είναι πολύ σημαντικό να συνειδητοποιήσουν όσο πιο νωρίς γίνεται την αναγκαιότητα της πολιτικοποίησής τους.

Ποιοι είναι οι μεγαλύτεροι φόβοι σας για το μέλλον;
Αυτό που φοβάμαι περισσότερο είναι η οικολογική καταστροφή. Ωστόσο δεν υποτιμώ την αναγκαιότητα αποδοχής των πολυπολιτισμικών κοινωνιών. Οι νέοι άνθρωποι πρέπει να μάθουν να συνυπάρχουν με όλους.

Ποιες είναι οι μεγαλύτερες ελπίδες σας;
Υπάρχει ελπίδα για το μέλλον, σήμερα που έχουμε τη γνώση για την εξέλιξη του ανθρώπου και για τη δημιουργία των ιδεών… Έτσι μπορούμε να χτίσουμε έναν περισσότερο αρμονικό κόσμο. Η αναζήτηση της αρμονίας μπορεί να βρεθεί στη νεολαία που είναι άγρυπνος φρουρός των δικαιωμάτων.

Τι μήνυμα στέλνετε στους νέους ανθρώπους;
Εξοργιστείτε! Εξεγερθείτε!
Τον προηγούμενο μήνα κυκλοφόρησε το μόλις 32 σελίδων βιβλίο του Στεφάν Εσέλ, με τον τίτλο «Εξοργιστείτε», το οποίο έγινε ανάρπαστο. «Είμαι 93 χρονών. Το μέλλον μου δεν φαντάζει μακρύ. Η κινητήριος δύναμη της αντίστασης είναι η αγανάκτηση. Ψάξτε και θα βρείτε: την τεράστια απόσταση που χωρίζει τους πολύ φτωχούς με τους πολύ πλούσιους, τις διακρίσεις απέναντι στους μετανάστες χωρίς χαρτιά και τους Ρομά, την άθλια κατάσταση του πλανήτη, τη δικτατορία των χρηματοπιστωτικών αγορών», δηλώνει σε συνέντευξή του ο Στεφάν Εσέλ, στο εβδομαδιαίο γαλλικό περιοδικό «Ο πολίτης». Ο Στεφάν Εσέλ οραματίζεται «μια κοινωνία για την οποία θα είμαστε περήφανοι, όπου δεν θα θίγονται οι συντάξεις, οι κατακτήσεις της Κοινωνικής Ασφάλισης, όπου τα ΜΜΕ θα είναι στην υπηρεσία των αδυνάτων». «Πρέπει να πάψουμε να είμαστε απαθείς» συμπληρώνει ο Εσέλ «Το συναίσθημα που επικρατεί σήμερα είναι ότι “δεν υπάρχει κάτι που μπορούμε να κάνουμε” επειδή τα πράγματα δεν αλλάζουν και επειδή οι πολιτικές αποφάσεις παίρνονται από τους έχοντες. Το χειρότερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να νίψουμε τας χείρας μας. Όπως λέει και ο Σατρ “ο αδιάφορος άνθρωπος δεν είναι άνθρωπος”. Πρέπει να γίνουμε υπεύθυνοι πολίτες. Όταν λέμε “δεν μπορούμε να κάνουμε τίποτα” παραιτούμαστε, μας αφαιρούμε το νόημα της ύπαρξής μας». Τέλος, ο Εσέλ υπογραμμίζει τη διαφορά του νόμου με τη νομιμότητα: «Η νομιμότητα των αξιών είναι πολύ πιο σημαντική από τους νόμους του κράτους. Έχουμε το καθήκον, ως πολίτες, να αμφισβητήσουμε τη νομιμότητα της κυβέρνησης. Οφείλουμε να σεβόμαστε τη δημοκρατία, όταν, όμως, κάτι είναι νόμιμο αλλά χωρίς νομιμότητα, πρέπει να διαμαρτυρόμαστε, να αντιστεκόμαστε και να δείχνουμε ανυπακοή».

Πηγή: http://n-tomaras.blogspot.com/2010/12/blog-post_20.html | Πληροφορίες: http://fr.wikipedia.org/wiki/Stéphane_Hessel (γαλ.) Μετάφραση στα ελληνικά

Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί μιας εξίσωσης - Ισοδύναμες εξισώσεις

Στα παρακάτω θα παρακολουθήσουμε πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους υπολογιστές τσέπης με δυνατότητες αφηρημένού αλγεβρικού λογισμού - Computer Algebra System (CAS), για την κατανόηση των ισοδύναμων μορφών κατά την επίλυση μιας εξίσωσης.

Οι περισσότεροι μαθητές επιλύοντας μια εξίσωση δεν αντιλαμβάνονται την σημασία των ενεργειών που κρύβονται πίσω από τον μηχανισμό της αλγεβρικής μεθόδου. Το γεγονός αυτό εξηγεί και πολλά λάθη κατά την παρουσίαση της αλγεβρικής λύσης τα οποία αποδίδουμε σε έλλειψη κατανόησης του συμβολισμού.

Παράδειγμα τέτοιο είναι όταν ζητάμε από τον μαθητή να λύσει την εξίσωση: 5·x+6 =3·x+12

Πολλές φορές βλέπουμε να γράφουν: 5·x+6 = 3·x+12 = 5·x-3·x = 12-6 = 2·x = 6 = 2.

Η γραφή των ισοδύναμων μορφών μιας εξίσωσης ως μια ακολουθία ισοτήτων δεν οφείλεται μόνο στην κατάργηση της χρήσης των συμβόλων της ισοδυναμίας <=> και της συνεπαγωγής => από το σχολικό βιβλίο. Τα παιδιά κατανοούν την σημασία που έχουν τα βελάκια αυτά όταν τους ρωτάμε. Η αιτία για παρόμοια λάθη που συχνά κάνουν τα παιδιά στις εξισώσεις είναι η έλλειψη κατανόησης της σημασίας των αλγεβρικών μετασχηματισμών και της έννοιας της ισοδυναμίας μεταξύ των αλγεβρικών εξισώσεων. Αυτό συμβαίνει διότι απουσιάζει η γεωμετρική εποπτεία. Οι καθηγητές πολλές φορές δεν εστιάζουμε την προσοχή μας στις γραφικές (ανα)παραστάσεις αυτό καθώς δεν έχουμε τη δυνατότητα να σχεδιάζουμε γραφήματα στην τάξη.

Ως ορισμός δίνεται ότι "δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν οι ρίζες της μιας είναι και ρίζες της άλλης".

Η δημιουργία των γραφημάτων των εξισώσεων που εμφανίζονται στα δύο μέλη μιας εξίσωσης βοηθά στην πληρέστερη κατανόηση της ισοδυναμίας μεταξύ αλγεβρικών εξισώσεων με τον τρόπο που θα δούμε παρακάτω.
Ας δούμε πρώτα μια δραστηριότητα που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε για τους μαθητές που εισάγονται για πρώτη φορά στις εξισώσεις.

Άσκηση - Δραστηριότητα
Σε κάθε ισοδύναμο μετασχηματισμό της εξίσωσης παραστήστε γραφικά την εξίσωση που εμφανίζεται στο κάθε μέλος, όπως φαίνεται στο παράδειγμα παρακάτω. Τι παρατηρείτε για το σημείο τομής των γραφημάτων;

7·x-8 = 2·x+7δδδδδ

5·x-8 = 7δδ

5·x = 15δδ

x = 3


Παρατηρούμε ότι όλα τα σημεία τομής των διαδοχικών εξισώσεων έχουν την ίδια τετμημένη x=3. Αυτό εννοούμε λέγοντας ότι είναι ισοδύναμες μορφές: Δηλαδή έχουν όλες οι εξισώσεις ίδια λύση.



Χρησιμοποιώντας CAS calculator (ή αντίστοιχο λογισμικό στον Η/Υ) είναι σκόπιμο να αφήσουμε τους μαθητές να επιλύσουν διάφορες εξισωσεις (του σχολικού βιβλίου ως παράδειγμα).

Η προσέγγιση της άλγεβρας μέσω των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων

Όταν δεν μπορείς να λύσεις μια άσκηση κάνε ένα σχήμα...

Ειδικότερα, στην κατανόηση της έννοιας των συναρτήσεων, οι γραφικές τους παραστάσεις αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο ώστε να διαμορφώσουμε τη διδασκαλία των μαθηματικών. Για παράδειγμα θα ήταν αρκετά περισσότερες οι πληροφορίες στο μυαλό ενός μαθητή για την έννοια της ρίζας μιας εξίσωσης αν στο μυαλό του αυτό μεταφράζονταν εξ ορισμού με τη συντεταγμένη των σημείων στο οποία το γράφημα κόβει τον οριζόντιο άξονα. Θα ήταν πολύ πιο εύκολο γι’ αυτόν να θυμάται την έννοια αυτή (και ταυτόχρονα και τη λειτουργία της) ως μια εικόνα.

– Οι λύσεις μια εξίσωσης θα είχε μεγαλύτερο νόημα αν αντιμετωπίζονταν ως τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων του πρώτου και δεύτερου μέλους της ισότητας.

– Τα ισοδύναμα βήματα κατά τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης θα είχαν περισσότερο νόημα για τον μαθητή αν αντιμετωπίζονταν ως τα γραφήματα δύο διαφορετικών συναρτήσεων κάθε φορά, που όμως έχουν σημεία τομής με ίδια οριζόντια συντεταγμένη. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειώσουμε το συνηθισμένο λάθος των μαθητών να χρησιμοποιούν το σύμβολο της ισότητας εκεί που θα έπρεπε να υπάρχει το σύμβολο της ισοδυναμίας μεταξύ των αλγεβρικών μετασχηματισμών, και το ανάποδο. Το σύμβολο της ισοδυναμίας είναι στο μυαλό τους ταυτόσημο με το = γιατί ακριβώς δεν έχουν πουθενά δει το λόγο για τον οποίο υπάρχει. Και μπορούν να το δουν μέσα από γεωμετρικούς μετασχηματισμούς οι οποίοι μεταφράζουν τους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και οι οποίοι είναι ισοδύναμοι (δηλαδή δίνουν όλοι μαζί ίδια τετμημένη ως στο σημείο τομής των γραφημάτων.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων έχουν μορφή που μπορούμε να δούμε (ευθείες, σταθερές ή με μικρή κλίση και άλλες πιο απότομες, καμπύλες με γωνίες και άλλες πιο ομαλές) και εύκολα μπορεί να τις χειριστεί κάποιος δρώντας στις έννοιες αυτές περιστρέφοντας, μετακινώντας τες, με ανάκλαση τους ως προς άξονες και σημεία ή απλά με το να ακολουθεί την τροχιά τους (tracing), ή βρίσκοντας το εμβαδόν κάτω από αυτές, ή συγκρίνοντας τες μεταξύ τους. Επιστρατεύεται έτσι η όραση στην εκτέλεση μαθηματικών συλλογισμών. Όμως σε κάποιο σημείο κάπου ανάμεσα στην παρατήρηση και το συλλογισμό οι εικόνες δίνουν το λόγο στις ιδέες (Pinker). Ακόμα και οι επιστήμονες-ερευνητές κατά τη σύλληψη αφηρημένων μαθηματικών σχέσεων, τις αποτυπώνουν κάνοντας ένα προσχέδιο τους στο χαρτί ως μορφές δύο, ή τριών διαστάσεων. Η δυνατότητα αφηρημένων συλλογισμών που έχουμε ως είδος συνέλαβε την ιδέα του συστήματος συντεταγμένων και έδωσε νέες δυνατότητες και εργαλεία για να δουλέψουμε με τις αφηρημένες έννοιες μέσω ενός καλά οργανωμένου συστήματος οπτικής αναπαράστασης των συμβόλων (Schacter).

Στην προσέγγιση της άλγεβρας μέσα από συναρτήσεις, με τη βοήθεια της τεχνολογίας των υπολογιστών γραφικών υπάρχει η δυνατότητα να παρουσιαστούν τα αντικείμενα και οι έννοιες της άλγεβρας με εικόνες (οι οποίες βοηθούν τη μνήμη) αλλά και αριθμητικές τιμές και να γίνουν συνδέσεις μεταξύ περισσότερων αναπαραστάσεων. Ακόμα σημαντικότερο είναι το γεγονός ότι οι συνδέσεις αυτές χρησιμοποιούνται με ουσιαστικό τρόπο κατά τη διδασκαλία και δεν είναι απλά κάτι παραπάνω στη θεωρία που πρέπει οι μαθητές να «μάθουν» - αποστηθίζοντας με κάποιον τρόπο. Μπορούν έτσι να χρησιμοποιήσουν τη γνώση αυτή για την κωδικοποίηση ακόμα περισσότερων πληροφοριών και την οργάνωση τους σε συμπαγή γνωστικά σχήματα.

Φιλοσοφία των Μαθηματικών

Tα Μαθηματικά τα δημιούργησε ο Θεός και η φύση ή τα επινόησαν οι άνθρωποι για να περιγράψουν τον κόσμο; Τα μαθηματικά εξηγούν τελικά τη φύση, κάτι λιγότερο, ή κάτι περισσότερο από αυτή;


Κατά τις τελευταίες δεκαετίες διαμορφώνεται μια νέα φιλοσοφία των μαθηματικών "χωρίς θεμέλια". Μετά από τις αποτυχημένες προσπάθειες που έκαναν κορυφαίοι μαθηματικοί-φιλόσοφοι (κυρίως οι Frege, Russell, Hilbert, και Brouwer) να θεμελιώσουν την "καθαρότερη των επιστημών", οι αναζητήσεις στράφηκαν προς άλλες κατευθύνσεις. Οι θεμελιωτιστές είχαν μια σημαντική κοινή συνιστώσα που έλκει την καταγωγή της από τον ιδεαλισμό του Πλάτωνα. Ξεκινούσαν από την παραδοχή ότι υπάρχει τρόπος να δημιουργηθεί ένα σύστημα απαλλαγμένο από παράδοξα, με αναμφισβήτητες και μόνιμες μαθηματικές αλήθειες. Μετά την απόδειξη του Godel ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί ή να αποκλεισθεί η αλήθεια κάθε πρότασης σε ένα μαθηματικό σύστημα με εσωτερικά μόνο μέσα, το αντικείμενο της θεμελίωσης των μαθηματικών εξέλειψε. Σήμερα δεν γίνεται αποδεκτή η πλατωνική μεταφυσική αντίληψη των μαθηματικών.

Η αντίληψη ενός τελειωμένου μαθηματικού συστήματος παραπέμπει στη λογική ότι ο ερευνητής ή/και ο μαθητής αναμένεται να ανακαλύπτουν/αναπαράγουν υπάρχουσες μαθηματικές προτάσεις (το μοντέλο μάθηση με ανακάλυψη). Τώρα που οι ελπίδες για ένα τέτοιο σύστημα έχουν εκλείψει, γίνεται αποδεκτή η άποψη ότι τα μαθηματικά ούτε έχουν ούτε χρειάζονται θεμέλια. Οι μαθηματικές προτάσεις δεν είναι όλες απόλυτες αλήθειες, μερικές δεν είναι καν βέβαιες, αλλά ένα μέρος τους είναι ημι-εμπειρικές, πιθανές και δυνατό να είναι εσφαλμένες. Τα μαθηματικά γενικά δεν υπάρχουν κάπου εκεί έξω, αλλά δημιουργούνται ή εφευρίσκονται από τον άνθρωπο κατά την ενασχόλησή του με καθημερινά προβλήματα ή με νοητικές ιδέες, προς εξυπηρέτηση υλικών και πνευματικών στόχων. Από τη στιγμή της δημιουργίας του ένα σύστημα έχει ιδιότητες, συχνά πολύπλοκες, που θα ανακαλυφθούν σταδιακά. Η αντίληψη αυτή έχει άμεση σύνδεση με τη θεωρία του οικοδομισμού (το μοντέλο οικοδόμησης της γνώσης ή της ενεργητικής μάθησης). Η συζήτηση για "μάθηση με ανακάλυψη" ή "μάθηση με κατασκευή" έχει φιλοσοφικές ρίζες και ευρύτερες προεκτάσεις. Η 'ανακάλυψη' με την έννοια της ανακάλυψης της Αμερικής από τον Κολόμβο και η κατασκευή/εφεύρεση με την έννοια της δημιουργίας ενός νέου μαθηματικού συστήματος.
Παράδειγμα: Λέμε ότι το 1614 o John Napier ανακάλυψε τους λογάριθμους, γιατί η βασική ιδέα είναι μια προέκταση των ιδιοτήτων των πράξεων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι ιδιότητες αυτές ήταν εκεί από τη στιγμή που κατασκευάστηκε το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Αντίθετα, το 1857 ο Cayley δημιούργησε ή εφεύρε τους "πίνακες" που είναι μαθηματικά αντικείμενα, τα οποία δεν αποτελούν ιδιότητες κανενός γνωστού συστήματος. Ωστόσο, από τη στιγμή της επινόησής τους οι πίνακες είχαν ιδιότητες και μπορούσαν να τύχουν εφαρμογής σε τομείς που ούτε ο δημιουργός τους δεν είχε φανταστεί. Μπορούμε να πούμε ότι οι ιδιότητες των πινάκων, οι εφαρμογές και οι γενικεύσεις τους ανακαλύφθηκαν.
Μια άλλη αντίληψη των μαθηματικών, η οποία επίσης αναθεωρείται, είναι το αλάθητο των μαθηματικών προτάσεων. Για αιώνες, κάθε αλήθεια στα μαθηματικά θεωρείτο ακριβής και διαχρονική. Η πεποίθηση αυτή καταρρίφθηκε από τη στιγμή που δημιουργήθηκε η μη Ευκλείδεια γεωμετρία, που είχε ως αποτέλεσμα πολλά από τα θεωρήματα του Ευκλείδη να θεωρούνται όχι απόλυτες αλλά "κατά συνθήκη αλήθειες". Η σύγχρονη αντίληψη υποστηρίζει ότι η αξιωματική μέθοδος μας διασφαλίζει ότι οι μαθηματικές προτάσεις είναι λογικά συμπεράσματα ενός συνόλου παραδοχών. Αλλά, τα αξιώματα δεν θεωρούνται προφανείς αλήθειες, είναι υποθέσεις εργασίας, των οποίων η σημασία ελέγχεται από τη συνέπεια, τη θεωρητική και πρακτική σημασία του μαθηματικού συστήματος. Δεδομένου ότι ένας τέτοιος έλεγχος γίνεται εμπειρικά, τα μαθηματικά ή τουλάχιστον ένα μέρος τους είναι ημι-εμπειρική επιστήμη που, κατά τον Lakatos, επιδέχεται αποδείξεις αναιρέσεις και βελτιώσεις.
Η στάση που ακολουθούν οι περισσότεροι μαθηματικοί είναι εκείνη που θέλει τα μαθηματικά να είναι μια ανακαλυπτική διαδικασία. Αυτό έχει συνέπειες στην συμπεριφορά τους ως εκπαιδευτικοί μέσα στην σχολική τάξη όπου το μάθημα γίνεται με τον παραδοσιακό τρόπο υπαγόρευσης της θεωρίας του κάθε καινούριου κεφαλαίου και απαίτηση για αφομοίωση του από τους μαθητές για την επόμενη τους συνάντηση.

Ο μύθος της ευφυΐας

Εργασία του συναδέλφου και φίλου Γιώργου Παυλάκου (Μαθηματικός, M. Ed Παν. Αθηνών)



Πόσες φορές έχουν ειπωθεί άραγε οι φράσεις: είναι χαζός μαθητής, δεν "παίρνει" τα γράμματα! Οι περισσότεροι άνθρωποι πιστεύουν ότι είναι ανώφελο να προσπαθήσουν να κατανοήσουν κάτι που δεν καταλαβαίνουν. "Τις κληρονομικές καταβολές δεν γίνεται να τις αλλάξει κανείς", λένε. Παίρνοντας το έναυσμα από αυτές τις απόψεις θα προσπαθήσουμε να δείξουμε όχι μόνο πως είναι ανεδαφικές αλλά και ότι είναι εγκληματικό να εκφράζονται από εκπαιδευτικούς.

Ο Liungman τονίζει ότι με πιθανότητα που αγγίζει το όρια της βεβαιότητας, οι διαφορές ευφυΐας που υπάρχουν ανάμεσα στους ανθρώπους δεν καθορίζονται σε σημαντικό βαθμό από γενετικούς παράγοντες. Οι παραλλαγές στο ΙQ καθορίζονται σε πολύ μεγάλη έκταση από τα βιώματα που αποκτούν οι άνθρωποι στη ζωή τους (συμπεριλαμβανομένης και της περιόδου ανάμεσα στη σύλληψη και τη γέννηση). Έτσι η εκπαίδευση, το οικογενειακό και προγεννητικό περιβάλλον καθώς και η στάση που τηρούν οι γονείς κι ο περίγυρος, φαίνεται να παίζουν τον καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση του ατόμου.

Αυτές οι απόψεις συμφωνούν και με την εμπειρία του Hughes, ο οποίος εντυπωσιάστηκε από τον ρόλο που διαδραματίζουν οι κοινωνικές και ταξικές διαφορές στις μαθηματικές ικανότητες των παιδιών. Σε μια έρευνα , η οποία συμφωνεί και με παλαιότερες, διαπίστωσε πως τα τετράχρονα παιδιά της εργατικής τάξης είχαν επιδόσεις ίδιου περίπου επιπέδου με τα τρίχρονα παιδιά της μέσης αστικής τάξης, ενώ τα πεντάχρονα παιδιά της εργατικής τάξης είχαν επιδόσεις ίδιου περίπου επιπέδου με τα τετράχρονα της μέσης αστικής τάξης. Αν και τα παιδιά της εργατικής τάξης ζούσαν σε μια ιδιαίτερα στερημένη περιοχή, ενώ τα παιδιά της μέσης αστικής τάξης σε μια αρκετά ευκατάστατη, είναι ανησυχητικό να σκέφτεται κανείς ότι υπάρχει μια τόσο μεγάλη διαφορά ανάμεσα στις ικανότητες των παιδιών σ' ένα τόσο πρώιμο στάδιο της ζωής τους.

Πιο αποκαλυπτικός είναι όμως ο Papert, ο οποίος χαρακτηρίζει τις θεωρίες για τα ταλέντα ως "μορφωτικές τοξίνες" οι οποίες μολύνουν την εικόνα του μαθητή που σχηματίζουν οι άνθρωποι για τους εαυτούς τους. Όλα είναι κανονισμένα ώστε να αποδώσουν τα παιδιά τις πρώτες τους αποτυχίες ή δυσάρεστες εμπειρίες στη μάθηση, στις ανικανότητές τους. Σαν αποτέλεσμα τα παιδιά αντιλαμβάνονται την αποτυχία ως παραπομπή τους στην ομάδα των "χαζών ανθρώπων", ή πιο συχνά, στην ομάδα των ανθρώπων που είναι "χαζοί στο χ" (όπου ο άγνωστος χ είναι συχνά τα μαθηματικά). Μέσα σ' αυτό το πλαίσιο, τα παιδιά θα ορίζουν τους εαυτούς τους με τους περιορισμούς τους και αυτός ο ορισμός θα εδραιώνεται και θα ενισχύεται σ' όλη τους τη ζωή.

Στο ίδιο πνεύμα κινείται και η Cemen όταν γράφει πως οι μέθοδοι διδασκαλίας μπορούν επίσης να συμβάλλουν στο μύθο του "μαθηματικού μυαλού", σύμφωνα με τον οποίο μερικοί άνθρωποι μπορούν και κατανοούν τα μαθηματικά ευκολότερα και πιο φυσιολογικά. Στο μύθο αυτό τονίζει συμβάλλει επίσης τόσο το ότι τα μαθηματικά (ιδιαίτερα οι αποδείξεις) παρουσιάζονται σε μια τελική μορφή όσο και το ότι οι δάσκαλοι δεν μοιράζονται με τα παιδιά τον αγώνα που έκαναν και οι ίδιοι στα μαθηματικά.

Κλείνοντας αυτό το άρθρο, παραθέτουμε μια φράση του Polya δηλωτική της άποψής του για το θέμα που μας απασχολεί: "Το να λύνει κανείς προβλήματα είναι μια πρακτική επιδεξιότητα, όπως για παράδειγμα το κολύμπι".

H παιδαγωγική αξία του λάθους

Εργασία του συναδέλφου και φίλου Γιώργου Παυλάκου (Μαθηματικός, M. Ed Παν. Αθηνών)



Το λάθος στο σύγχρονο σχολείο αποτελεί αμάρτημα, για το οποίο ο μαθητής πρέπει να να ντρέπεται. Ο δάσκαλος των μαθηματικών θεωρεί το λάθος ως κάτι ασυμβίβαστο με την ιδιότητα του "καλού" μαθητή, κάτι που μπορεί να εξηγηθεί με το ότι ο ίδιος βρίσκεται εγκλωβισμένος στο δίπολο, σωστό - λάθος, σε μια αντιδραστική και οπισθοδρομική αντίληψη, η οποία θεωρεί τις μαθηματικές καταστάσεις στην τελική τους μορφή μόνο ή ως σωστές ή ως λανθασμένες. Απεναντίας, όμως, η εργασία των φιλοσόφων και ιστορικών της επιστήμης, όπως των Kuhn, Lakatos, Kline και Feyerabend, συμβάλλει στο να συνειδητοποιήσει κανείς ότι τα λάθη έχουν ένα θεμελιώδη ρόλο στην ανάπτυξη κάθε επιστήμης. Η ιστορία των μαθηματικών έχει δείξει αμέτρητες φορές ότι κάποιο λάθος ή αποτυχία στο να επιτευχθεί κάποιος στόχος (π.χ. η απόδειξη του αιτήματος των παράλληλων ευθειών), οδήγησε σε απρόσμενα και επαναστατικά αποτελέσματα (π.χ. τη δημιουργία των μη Ευκλείδειων γεωμετριών).

Όπως υποστηρίζει ο Τουμάσης από έρευνες στην περιοχή της μαθηματικής εκπαίδευσης έχει πια δειχθεί ότι τα λάθη μπορούν να αποτελέσουν ένα ισχυρό εργαλείο διάγνωσης των μαθησιακών δυσκολιών και συνεπώς και άμεσης θεραπείας τους. Ένα βασικό συμπέρασμα των ερευνών αυτών είναι η συνειδητοποίηση πως τα λάθη αυτά δεν είναι δυνατόν να θεραπευτούν με το να επαναλαμβάνεται απλώς ξανά και ξανά η σωστή διαδικασία ή το σωστό αποτέλεσμα ή με το να απονέμονται επιπρόσθετες πρακτικές ασκήσεις . Τα αίτια είναι πιο βαθιά και θα πρέπει να αναλύονται κάθε φορά προσεκτικά.Τα λάθη των μαθητών σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να δημιουργήσουν σημαντικές ευκαιρίες για προβληματισμό και ζωντανή, ενεργητική συμμετοχή, εισάγοντας τον μαθητή στην ερευνητική διαδικασία και στην κρητική στάση απέναντι στα μαθηματικά. Τις ευκαιρίες αυτές μπορεί να αξιοποιήσει ο δάσκαλος για να καλλιεργήσει τις σωστές στάσεις των μαθητών του απέναντι στα μαθηματικά, ξεφεύγοντας από την τυποποίηση της διαδικασίας που βομβαρδίζει τους μαθητές με οπτικά και ακουστικά ερεθίσματα προς δόξα της πολυγνωσίας, χωρίς να τους δίνει την ευκαιρία και το χρόνο να σκεφτούν οι ίδιοι και να επαναανακαλύψουν. Οι ίδιες διαπιστώσεις γίνονται και από τον Papert, ο οποίος τονίζει πως η σχολική ηθική δουλεύει σαν σβηστήρι. Σε μια τυπική τάξη μαθηματικών η αντίδραση του παιδιού στην λανθασμένη απάντηση είναι να προσπαθήσει να την ξεχάσει όσο τον δυνατόν γρηγορότερα. Το σχολείο διδάσκει ότι τα λάθη είναι "κακά". Το τελευταίο που θέλει κανείς είναι να ασχοληθεί μ' αυτά, να τα μελετήσει ή να τα σκεφτεί. Στο εκπαιδευτικό πεδίο που περιγράφει ο Papert το παιδί δεν επικρίνεται για το λάθος του, αλλά αντίθετα η διαδικασία διόρθωσης σφάλματος είναι ένα κανονικό τμήμα της διεργασίας κατανόησης του προβλήματος. Τα παιδιά γρήγορα συνειδητοποιούν ότι ο δάσκαλος είναι και αυτός ένας μαθητευόμενος και ότι όλοι μαθαίνουν από τα λάθη τους.

Όμως ο Papert προχωράει ακόμη παραπέρα τονίζοντας πως τα φυσικά μονοπάτια τις μάθησης των παιδιών περιέχουν "ψεύτικες θεωρίες" που διδάσκουν σχετικά με το κτίσιμο θεωριών όσα και οι αληθινές. Το εκπαιδευτικό μας σύστημα απορρίπτει τις "ψεύτικες θεωρίες" των παιδιών, απορρίπτοντας έτσι τον τρόπο που μαθαίνουν στην πραγματικότητα τα παιδιά. Απορρίπτει επίσης τις ανακαλύψεις που δείχνουν την σπουδαιότητα του μονοπατιού μάθησης των "ψεύτικων θεωριών". Ο Piaget, εξάλλου, έδειξε ότι τα παιδιά κρατούν τις ανορθόδοξες θεωρίες ως ένα απαραίτητο τμήμα της διεργασίας με την οποία μαθαίνουν να σκέφτονται, λειτουργώντας ως τρόποι ανάπτυξης των γνωστικών μυών, ανάπτυξης και εξάσκησης των απαραίτητων δεξιοτήτων που απαιτούνται για τη δημιουργία πιο ορθόδοξων θεωριών.

Επομένως, η επεξεργασία του λάθους δεν αποτελεί μόνο ένα χρήσιμο παιδαγωγικό εργαλείο, αλλά αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό και της ίδιας της ανάπτυξης της επιστημονικής γνώσης.

Φοβάμαι τα μαθηματικά! (mathophobia)

Εργασία του συναδέλφου και φίλου Γιώργου Παυλάκου (Μαθηματικός, M. Ed Παν. Αθηνών)

Σύμφωνα με την Cemen στην ψυχολογία οι έννοιες φόβος, φοβία και άγχος θεωρούνται γενικά διακεκριμένες μεταξύ τους. Συνεπώς, όπως υποστηρίζει, το άγχος για τα μαθηματικά, και ο φόβος για τα μαθηματικά δεν θα πρέπει να θεωρούνται έννοιες ταυτόσημες. Όμως στα πλαίσια αυτής της εργασίας θα τις χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε το ίδιο φαινόμενο, αυτό της απέχθειας και αντιπάθειας που νοιώθει κάποιο άτομο για τα μαθηματικά.


Με την λέξη μαθηματικοφοβία εννοούμε το φόβο, την ανασφάλεια και το δέος που αισθάνονται οι μαθητές για το μάθημα των μαθηματικών. Η μαθηματικοφοβία δεν είναι παθολογική κατάσταση, αλλά προξενείται από τις αρνητικές εμπειρίες των μαθητών στο μάθημα των μαθηματικών και επηρεάζει άμεσα τη μαθητική τους επίδοση, μειώνοντάς τη στο ελάχιστο.

Τα κυριότερα αίτια της μαθηματικοφοβίας είναι: 
  • Ο αυταρχισμός και διδακτισμός των δασκάλων, οι οποίοι συνήθως επιβάλλουν στους μαθητές τους την άποψή τους. Λένε στα παιδιά τι να κάνουν, τι είναι χρήσιμο, τι δεν είναι, τι "δουλεύει", τι όχι και γενικά δίνουν συνταγές που πηγάζουν από την εξουσία τους. Ο μαθητής εξαρτάται από την εξουσία του δασκάλου, κάτι που όπως είναι φυσικό ενισχύει το φόβο και το δέος που αισθάνονται οι μαθητές για τα μαθηματικά.
  • Τα τεστ και τα διαγωνίσματα, που έχουν ως σκοπό την αξιολόγηση των μαθητών, ασκούν την πιο βλαβερή επίδραση. Διαπερνούν και σημαδεύουν ολόκληρη την εκπαιδευτική διαδικασία, γίνονται αυτοσκοπός. Προϋποθέτουν ότι οι μαθητικές ικανότητες μπορούν να μετρηθούν με έναν απλό αριθμό σ' ένα τεστ. Έτσι διαστρεβλώνεται η πολυδιάστατη φύση της μάθησης των μαθηματικών.
  • Οι αρνητικές εμπειρίες και στάσεις ενισχύονται και από τις προκαταλήψεις που επικρατούν στο κοινωνικό πεδίο σχετικά με τα μαθηματικά και την μάθησή τους. Η πλειοψηφία όπως δείχθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο πιστεύει ότι κάποιος ή γεννιέται με μαθηματικές ικανότητες ή όχι. Εξάλλου δεν είναι λίγοι αυτοί που υποστηρίζουν ότι τα κορίτσια δεν έχουν κατάλληλο μυαλό για τα μαθηματικά.
  • Τα μαθηματικά δεν διδάσκονται σε σχέση με την ζωή και το περιβάλλον του παιδιού και επομένως η μάθηση δεν βασίζεται στην κατανόηση μέσω δραστηριοτήτων, αλλά στη μηχανική απομνημόνευση. Η αναγόρευση, όμως, της μνήμης σε σπουδαία διανοητική λειτουργία οδηγεί στην υπερφόρτωσή της.
  • Η σπουδαιότητα των μαθηματικών σήμερα ως βασικό υπόβαθρο οποιασδήποτε επιστήμης και η συνειδητοποίηση της αναγκαιότητας τους, προξενεί άγχος και ένταση στους μαθητές.
Τελειώνοντας θα θέλαμε να τονίσουμε πως η εμπειρία των παιδιών, από τα σχολικά μαθηματικά, είναι τόσο τραυματική που ακόμα και όταν ενηλικιωθούν έχουν βαθιά ριζωμένα αισθήματα άγχους και ανεπάρκειας σ' αυτό το θέμα. Όταν τα μέλη μιας ερευνητικής επιτροπής προσπάθησαν να πάρουν συνεντεύξεις από ένα δείγμα ενηλίκων για τα μαθηματικά, που χρησιμοποιούσαν στη καθημερινή τους ζωή, ανακάλυψε ότι οι μισοί από αυτούς, που πλησίασε, αρνήθηκαν να δώσουν συνέντευξη απλά και μόνο γιατί το θέμα ήταν τα μαθηματικά! Ακόμη η Cemen περιγράφει μια ενήλικη γυναίκα η οποία δεν ενημέρωνε στο καρνέ των επιταγών της τα έξοδα που έκανε, επηρεασμένη από την σχολική της εμπειρία με τα μαθηματικά! 

Μαθησιακές δυσκολίες

Ο Brousseau (1997) διακρίνει τα ακόλουθα τρία είδη μαθησιακών εμποδίων:
1. Οντογενετικής προέλευσης
2. Διδακτικής προέλευσης
3. Επιστημολογικής προέλευσης

Τα εμπόδια οντογενετικής προέλευσης είναι δυσκολίες που οφείλονται στο άτομο και τους ατομικούς περιορισμούς, όπως π.χ. τη νευρο-φυσιολογική του κατάσταση και το αναπτυξιακό στάδιο που βρίσκεται.

Τα εμπόδια διδακτικής προέλευσης είναι δυσκολίες που οφείλονται στο αναλυτικό πρόγραμμα, στις επιλογές των μαθησιακών δραστηριοτήτων, στο μοντέλο διδασκαλίας και γενικά σε παράγοντες του εκπαιδευτικού συστήματος.

Τα εμπόδια επιστημολογικής προέλευσης είναι καταστάσεις που οφείλονται στις απαιτήσεις του αντικειμένου, λόγω της προοδευτικά αυξημένης πολυπλοκότητας της δομής της γνώσης.

Ιστορία των Μαθηματικών

Η σημασία της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Οι παιδαγωγοί υποστηρίζουν ότι ο δάσκαλος πρέπει να έχει μια βαθύτερη αντίληψη των Μαθηματικών και της σημασίας τους (μια στέρεα γνωσιολογική και συναισθηματική βάση για το αντικείμενο που μελετά.


O Poincare για την σημασία της ιστορίας των μαθηματικών στην εκπαιδευτική διαδικασία είχε αναφέρει: "Μήπως η κατανόηση ενός θεωρήματος σημαίνει τη διαδοχική εξέταση των συλλογισμών που το συνθέτουν για να επιβεβαιωθεί η εγκυρότητά του και η συνέπειά του με τους κανόνες του παιγνιδιού; Για μερικούς ναι, αυτό είναι αρκετό για να πούνε 'τώρα το καταλαβαίνω'. Για πολλούς όμως, όχι. Χρειάζεται κάτι πολύ περισσότερο από αυτό. Θα ήθελαν να ξέρουν όχι μόνον αν οι συλλογισμοί της απόδειξης είναι ορθοί, αλλά και γιατί σχετίζονται μεταξύ τους με αυτό τον τρόπο και όχι με κάποιο άλλο. Αν οι συλλογισμοί τους φαίνονται ότι προέκυψαν στην τύχη, χωρίς σύστημα και ενσυνείδητο στόχο, τότε δεν ικανοποιούνται. Ίσως ούτε και οι ίδιοι να μην ξέρουν τι ακριβώς αναζητούν, αλλά αν δεν το βρουν θα έχουν το συναίσθημα ότι κάτι τους λείπει".
Η προσπάθεια για επισήμανση σχέσεων και διασυνδέσεων ανάμεσα στα επιμέρους και η κατανόηση της δυναμικής πορείας της επιστημονικής σκέψης σε οποιοδήποτε αντικείμενο αλλά ιδιαίτερα στα μαθηματικά διευκολύνεται από της μελέτη της ιστορίας.
Ο Henry Poncare (1899) γράφει συγκεκριμένα, "Αναμφίβολα, είναι δύσκολο για το δάσκαλο να διδάξει μια αιτιολόγηση που δεν τον ικανοποιεί πλήρως…Αλλά, ο κύριος σκοπός της διδασκαλίας δεν είναι η ικανοποίηση του δασκάλου…πάνω από όλα μας ενδιαφέρει το μυαλό του παιδιού και αυτό που θέλουμε να γίνει…. Το έργο του δασκάλου είναι να κάνει τα παιδιά να ακολουθήσουν την ατραπό που ακολούθησαν οι πατέρες τους, περνώντας γρήγορα από ορισμένα στάδια χωρίς να παραλείψουν κανένα. Με αυτή την έννοια η ιστορία είναι ο οδηγός μας".
O Felix Klein όχι μόνον υποστήριζε τη χρησιμοποίηση της ιστορίας, αλλά και εφάρμοσε τις ιδέες του στη διδασκαλία. Η αφετηρία του πιθανόν να ήταν μια επιθυμία περιορισμού της υπερβολικής αυστηρότητας και του φορμαλισμού στη διδασκαλία. Με αυτή την έννοια ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τη διάκριση διαίσθησης αυστηρότητας, και στο σχολείο προέτρεπε την αξιοποίηση της διαίσθησης. Έγραφε συγκεκριμένα"Υποστηρίζω πως η μαθηματική διαίσθηση … βρίσκεται πάντοτε πολύ μπροστά από τη λογική αιτιολόγησης και καλύπτει μια ευρύτερη περιοχή. Θα μπορούσα να κάνω μια ιστορική αναδρομή δείχνοντας ότι κατά τη ανάπτυξη πλείστων κλάδων των μαθηματικών η αφετηρία ήταν διαίσθηση ενώ η λογική επεξεργασία ακολούθησε".

Η σχέση ιστορίας μάθησης αποδίδεται στις εγγενείς ιδιότητες της γνώσης και περισσότερο των μηχανισμών που διαμεσολαβούν κατά τη μετάβαση από το ένα επίπεδο γνώσης στο άλλο. Αφού τα στάδια είναι δεδομένα για κάθε έννοια, θα προσομοιάζουν και τα επιστημολογικά εμπόδια που θα συναντήσει ο σύγχρονος μαθητής. Ώστε, ο μαθητής μπορεί να παρακολουθήσει το δρόμο των πρωτοπόρων, αντί να το χαράξει από την αρχή, αφού οι μηχανισμοί που μεσολαβούν κατά τη μετάβαση από το ένα στάδιο στο άλλο είναι οι ίδιοι. 

Ο Cajory προτάσσει στο κλασικό του έργο Ιστορία των μαθηματικών (1893) την ακόλουθη περικοπή:
"I am sure that no subject loses more than mathematics by any attempt to dissociate it from its history".
Η ιστορική προσέγγιση βασίζεται στη λογική ότι η παρούσα κατάσταση πραγμάτων για οποιοδήποτε θέμα δεν είναι έννοια μεμονωμένη και αυθύπαρκτη, αλλά αντλεί σημασία από το παρελθόν και καταξιώνεται από τη δυναμική επηρεασμού του μέλλοντος. Η γνώση, ο πολιτισμός και οι παραδόσεις ενός λαού είναι οι ρίζες που τον υποστηρίζουν στη γη και τρέφουν το υπερκείμενο μέρος του.
Όταν όμως μιλούμε για ιστορία τι ακριβώς εννοούμε; Είναι γνωστό ότι η ιστορία γράφεται και ξαναγράφεται, ανάλογα με τις εκάστοτε κοινωνικές αντιλήψεις ή ακόμη και τις προκαταλήψεις. Τα ίδια γεγονότα αποδίδονται διαφορετικά και ερμηνεύονται ανάλογα με την οπτική θεώρηση του συγγραφέα, ώστε να είναι δύσκολο να συμφωνηθεί η πραγματική ιστορία. Ο κάθε μελετητής αξιολογεί και ερμηνεύει τα δεδομένα μέσα από το δικό του φιλοσοφικό φακό. Υπάρχει ακόμη το ερώτημα αναφορικά με το δίλημμα: ιστορία των πηγών ή ιστορία των ιδεών; Από την επιστημολογική και διδακτική άποψη μας ενδιαφέρει η ιστορική ανάπτυξη των ιδεών, η οποία, ωστόσο, βασίζεται στις πηγές.
Αν η "ιστορία" ενός αντικειμένου εξετάζει, αναλύει και ερμηνεύει συγκεκριμένες πτυχές της γνώσης που αναπτύχθηκε στο παρελθόν, τότε ο ιστορικός ασχολείται με ερωτήματα της μορφής: τι, πότε, πώς, από ποιον και γιατί έγινε κάτι; Οι απαντήσεις που θα δοθούν στα ερωτήματα θα βασίζονται στη μελέτη και ανάλυση των διαθέσιμων πηγών.
Η επιλογή της σκοπιάς από την οποία θα θεωρηθεί η ιστορία ενός θέματος είναι συνάρτηση υποκειμενικών φιλοσοφικών και κοινωνικών αντιλήψεων. Η μετά-μοντέρνα αντίληψη της ιστορίας δίνει αυξημένη έμφαση σε δύο μεταβλητές: Πρώτον, στις κοινωνικές και οικονομικές συνθήκες και γενικά το περιβάλλον μέσα στο οποίο αναπτύχθηκε η γνώση, και δεύτερον, στη σημασία που έχει η συγκεκριμένη γνώση στην αλληλουχία των γεγονότων. Μελετά τα γεγονότα του παρελθόντος ως μέρος ενός συνεχούς ή ως βήματα που προετοίμασαν τις νεότερες πιο τελειοποιημένες δομές της γνώσης. Δίνει σημασία στη σχέση της ιστορικής στιγμής ως μέρους της εξέλιξης της γνώσης. Τα γεγονότα είναι ένα δυναμικό σύνολο διαδικασιών που συνδέουν το παρελθόν με το παρόν και προϊδεάζουν για το μέλλον. Ο ιστορικός ανασυνθέτει τους παράγοντες που συνέβαλαν στη δημιουργία των συγκεκριμένων δομών γνώσης, τα κίνητρα που ώθησαν στις συγκεκριμένες λύσεις, σε συνδυασμό με τη σημασία τους στις μετέπειτα εξελίξεις, μέσα στις σύγχρονες κοινωνικές και πολιτισμικές συνθήκες.
Η ιστορική προσέγγιση θα μπορούσε να ενισχύσει τη γνωσιολογική βάση των φοιτητών και να βελτιώσει ταυτόχρονα τις στάσεις τους ως προς τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους. Πρόσθετο κίνητρο για τη συμπερίληψη της ιστορίας στο πρόγραμμα σπουδών είναι το γεγονός ότι οι πιο πολλές ενότητες των μαθηματικών του σχολείου αναπτύχθηκαν από τους Έλληνες. Η μελέτη μερικών από τις λαμπρές σελίδες των ελληνικών μαθηματικών θα αποτελούσε ένα επιπλέον κίνητρο για τον έλληνα σπουδαστή.

Παράδειγμα 1: Μια απομονωμένη αναφορά στα συστήματα αρίθμησης των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων προσφέρει ελάχιστα στη μάθηση, αν δεν συνδυαστεί με το δεκαδικό σύστημα και τις ιδιότητές του. Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης δεν είναι δυνατό να διδαχθεί χωρίς να γίνει, στοιχειώδης έστω, αναφορά σε κάποιας μορφής λογικές πύλες ή λογικά κυκλώματα, που είναι η βάση της λειτουργίας του σύγχρονου υπολογιστή. Η προτομή του Πυθαγόρα στην εισαγωγή του κεφαλαίου που διδάσκεται το ομώνυμο θεώρημα, δεν αποτελεί συμβολή της ιστορίας των μαθηματικών στη μελέτη του μεγάλου αυτού θεωρήματος. Αντίθετα, ο μαθητής θα μπορούσε να μελετήσει την εξέλιξη του θεωρήματος αρχίζοντας από την πρακτική του εφαρμογή από τους Αιγυπτίους (σχηματισμός ορθής γωνίας με σχοινί 12 μονάδων, χωρισμένο με κόμπους σε μήκη 3, 4 και 5 μονάδων), να περάσει μετά σε κατασκευαστικές αποδείξεις των Ελλήνων, να μελετήσει αποδείξεις που προτάθηκαν από μαθηματικούς σε άλλες ιστορικές στιγμές και κοινωνικές συνθήκες και, τέλος, να καταλήξει σε γενικεύσεις και επεκτάσεις του.

Παράδειγμα 2: Ο απειροστικός λογισμός εισάγεται με παραπομπή στη σημασία της σχέσης άπειρο και απειροστό, συζητούνται και αναλύονται τα παράδοξα του Ζήνωνα και άρση τους με βάση την αρχή της εξάντλησης του Εύδοξου. Αφού τονιστεί η σημασία της έννοιας του ορίου, γίνεται ιστορική αναφορά στις προσπάθειες των Fermat, Barrow, Wallis, και καταλήγουμε στους Leibniz και Newton. Οι έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος εισάγονται πρώτα άτυπα με παραδείγματα και στη συνέχεια και τυπικά και συζητούνται πρακτικές εφαρμογές.

Παράδειγμα 3: Αφορμές για μελέτη από το διαδίκτυο:


Πάπυρος της Οξυρρύγχου με το πιο παλιό διάγραμμα από τα Στοιχεία (Βιβλίο ΙΙ) 
του Ευκλείδη. (Αριθμός Παπύρου Ι.29, University of Pennsylvania Museum of Archaelogy and Anthropology - Museum cataloque E2748).
Μετάφραση: «Εάν ευθεία γραμμή τμηθή εις ίσα και άνισα, το υπό των ανίσων της όλης τμημάτων περιεχόμενον ορθογώνιον μετά του από της μεταξύ των τομών τετραγώνου ίσον εστί τω από της ημισείας τεραγώνου».

Διδακτική των Μαθηματικών

Η Διδακτική των Μαθηματικών αποτελεί επιστημονικό κλάδο της Μαθηματικής επιστήμης. Συνθέτει αποτελέσματα από διαφορετικές μεταξύ τους περιοχές (επιστημονικά πεδία αναφοράς): την Επιστημολογία (θεωρία της Επιστήμης - η στάση που έχουμε απέναντι στη γνώση), τη Φιλοσοφία, τα Μαθηματικά, την Ψυχολογία, την Ιστορία, την Κοινωνιολογία, τη Γλωσσολογία και την Παιδαγωγική σε μια γόνιμη συνεργασία.

Το Αντικείμενο της Διδακτική των Μαθηματικών είναι η μελέτη και η περιγραφή όλων των φαινομένων και των παραμέτρων που προκύπτουν κατά την εκπαιδευτική διαδικασία (η οποία περιγράφεται στα παρακάτω σχήματα) και να προτείνει μεθόδους ώστε η αυτή να γίνει αποτελεσματικότερη.

Παρατήρηση: Το πρόβλημα για το τι είναι "Γνώση" και πώς την αποκτούμε είναι από τα θεμελιώδη ερωτήματα της φιλοσοφίας. Πολύ πριν την εποχή των Ελληνιστικών χρόνων και την εμφάνιση των μεγάλων φιλοσόφων και μαθηματικών υπήρξε έντονο το ενδιαφέρον ως προς τη φύση της γνώσης. Όμως η προσοχή ήταν στραμμένη στην οντολογία της γνώσης και όχι στο υποκείμενο.

Στόχοι
Συγκεκριμένα η σύγχρονη έρευνα στη μαθηματική εκπαίδευση αφορά στη:
- Διατύπωση θεωριών μάθησης
- Κατανόηση των φαινομένων κατά τη διδασκαλία (πχ. ερμηνεία λαθών, και άλλες μεταγνωστικές διαδικασίες)
- Ανάπτυξη αναλυτικών προγραμμάτων, συγγραφή εγχειριδίων (υλοποίηση των παραπάνω μεθόδων έρευνας)

Η «δουλειά» του δασκάλου
Η δουλειά του δασκάλου (η διδακτική πράξη στο παραδοσιακό σχολείο) είναι κατά κύριο λόγο η μετωπική διδασκαλία. Δηλαδή η μεταφορά πληροφοριών στον μαθητή τις οποίες αυτός καλείται να αφομοιώσει.




Σήμερα αναγνωρίζουμε όμως ότι η διδακτική ακολουθεί ένα ακόμα πιο σύνθετο σχήμα καθώς ο ίδιος ο μαθητής αλληλεπιδρά με τη γνώση χωρίς απαραίτητα την άμεση παρεμβολή του δασκάλου πάντα:



Σημειώνουμε εδώ ότι ο όρος "επιστημολογία" περιγράφει την αντίληψη που έχει κάποιος για τη γνώση, για την στάση του απέναντι στη γνώση και για το πώς την προσεγγίζει.

Βασικές αρχές της σύγχρονης Διδακτικής
- Η γνώση είναι πάντα συνδεδεμένη το γνώστη. Δηλαδή κατασκευάζεται από τον ίδιο και δε μεταφέρεται (κατασκευή της γνώσης & προσωπική ανακάλυψη).
- Η νέα γνώση βασίζεται πάνω στα ήδη υπάρχοντα γνωστικά σχήματα.
- Η νέα γνώση θεσμοθετείται ως «επίσημη έγκυρη γνώση» μέσα στο περιβάλλον της μαθηματικής κοινότητας.
Η σημασία της προσωπικής ανακάλυψης
Α. Ερευνητής - επιστήμονας - δάσκαλος: αφαίρεση των συνθηκών και ιδιαιτέρων χαρακτηριστικών που γέννησαν μια νέα ιδέα, έννοια - γνώση ("αποκειμενοποίηση της γνώσης" ή "αποπλαισίωση της γνώσης")
Β. Μαθητής: είναι ανάγκη να αποκειμενοποιήσει ο ίδιος την νέα γνώση για να την κατανοήσει. Ένα θέμα που βρίσκεται στο στάδιο της εκμάθησης χρειάζεται να έχει για τον ίδιο το μαθητή ένα συγκεκριμένο ρόλο ύπαρξης ("επανακειμενοποίηση" ή "επαναπλαισίωση" της γνώσης).
Το σύνολο των προσαρμογών που πρέπει να γίνουν ώστε η διαθέσιμη γνώση να μεταφερθεί στη σχολική πρακτική (διδακτική μετάπλαση Chevallard) είναι έργο των αναλυτικών προγραμμάτων και του δασκάλου. Τα στάδια είναι τα εξής:
1. Επιλογή του θέματος
2. Προσαρμογή της γνώσης στο εκπαιδευτικό σύστημα ώστε να γίνει συνεκτική
3. Συνθήκες στις οποίες θα μεταδοθεί η γνώση στους μαθητές
Ζητούμενα
- Ανακάλυψη κάποιου pattern μέσω πειραματισμoύ και παρατήρησης και η σημασία του για την εξαγωγή συμπερασμάτων για καταστάσεις έξω από την εμπειρία (αφαιρετικές διαδικασίες)
- Καλλιέργεια των μεταγνωστικών ικανοτήτων κατά την πορεία τις δουλειάς
- Ενεργοποίηση του ενδιαφέροντος για το μάθημα (θέματα με οικίο για τα παιδία context ώστε να τους κεντρίσει το ενδιαφέρον να ασχοληθούν με αυτά)
- Ομαδοσυνεργασία

Τι είναι μαθηματικά;

Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές, απαντά ο καθηγητής W. T. Tutte, του πανεπιστημίου του Waterloo: 
- Τα Μαθηματικά είναι η Ανθρωπιστική Επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.
- Είναι η Φυσική Επιστήμη η οποία μελετά το φαινόμενο που λέγεται λογική.
- Είναι η Τέχνη που πλάθει δομές αιθερικής ομορφιάς από την πρωταρχική ύλη που ονομάζεται λογική, είναι όλα αυτά κι άλλα.
Αλλά πάνω από όλα, μπορώ να σας βεβαιώσω, ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση.

"A mathematician is a machine for turning coffee into theorems" (Alfréd Rényi)

Γιατί Μαθηματικά;

Πριν ασχοληθούμε με κάτι πρέπει πρώτα να έχουμε απαντήσει στο τι ακριβώς είναι και γιατί το κάνουμε ώστε να έχει νόημα για εμάς!

«...Και που θα μου χρειαστούν εμένα αυτά;» 

Η δική μου απάντηση είναι ότι τα μαθηματικά παρέχουν ένα ιδανικό περιβάλλον όπου αναπτύσσονται σημαντικές δεξιότητες που ένα άτομο χρειάζεται έτσι και αλλιώς οπουδήποτε στη ζωή του...

 Άλλωστε τα μαθηματικά για το μυαλό είναι ό,τι και η άσκηση για το σώμα. Κάποιες φορές η διαδρομή είναι κουραστική και δύσκολη, αλλά κρύβει συγκινήσεις και επαίνους στο τέλος.

Μεγαλώνουμε μια γενιά μπροστά στις οθόνες (Matt Richet, The New York Times)

Τα παιδιά μαθαίνουν να «αποσπώνται» από τη μία ασχολία στην άλλη χωρίς τελικά να εστιάζουν σε τίποτα

Λίγες ημέρες πριν αρχίσει την τελευταία του χρονιά στο Λύκειο, ο Βισάλ Σιχ κλήθηκε να διαλέξει: βιβλίο ή ηλεκτρονικός υπολογιστής.

Ο Βισάλ, ένας πανέξυπνος δεκαεπτάχρονος, έπρεπε να διαβάσει ένα μυθιστόρημα κατά τη διάρκεια των καλοκαιρινών διακοπών. Παρά την πάροδο δύο μηνών από την τελευταία ημέρα στο σχολείο, δεν κατάφερε να προχωρήσει πέρα από τη 43η σελίδα. Προτιμά, είναι η αλήθεια, να μπαίνει στο Ιντερνετ, στο ΥouTube και στο Facebook και να φτιάχνει τα δικά του αριστοτεχνικά ψηφιακά βίντεο. Ακριβώς αυτά έκανε και τούτο το απόγευμα του Αυγούστου. Παράτησε σε μια άκρη το βιβλίο, μπήκε στο YouTube και άρχισε να επιλέγει τη μουσική. Την επόμενη ημέρα, λοιπόν, ξεκινά η τελευταία χρονιά του Λυκείου κι ο Βισάλ ελπίζει ότι θα βελτιώσει τη βαθμολογία του χωρίς, ωστόσο, να διαβάσει το βιβλίο που έπρεπε.

«Στο YouTube μπορείς να παρακολουθήσεις την υπόθεση του βιβλίου μέσα σε έξι λεπτά -εξηγεί ο νεαρός- ενώ για να διαβάσεις το βιβλίο χρειάζεσαι πολύ χρόνο. Προτιμώ αυτό που θέλω να γίνεται αμέσως».

Ανέκαθεν οι μαθητές έρχονταν αντιμέτωποι με πράγματα και καταστάσεις που τους αποσπούσαν την προσοχή. Τα κομπιούτερ και τα κινητά τηλέφωνα και η πλημμύρα ερεθισμάτων που αυτά μεταφέρουν αποτελούν μια εντελώς νέα πρόκληση τόσο στις ικανότητες συγκέντρωσης που διαθέτουν τα παιδιά όσο και γενικότερα στις διαδικασίες μάθησης.

Οι ερευνητές πιστεύουν ότι τα νέα τεχνολογικά μέσα αποτελούν πόλο έλξης για τους ενηλίκους και ασκούν ακαταμάχητη γοητεία στα παιδιά. Ο κίνδυνος, όμως είναι ότι ο εγκέφαλος των παιδιών που βρίσκεται στο στάδιο της ανάπτυξης μαθαίνει με μεγάλη ευκολία να «αποσπάται» από τη μία ασχολία στην άλλη και τελικά να μην εστιάζεται σε τίποτα.

«Στην πραγματικότητα ο εγκέφαλος των νεαρών παιδιών ανταμείβεται όχι για να επικεντρωθεί σε ένα καθήκον, μια ασχολία, μια εργασία αλλά για να «τρέχει διαρκώς από τούτο σε εκείνο», εξηγεί ο Μάικλ Ριτς, αναπληρωτής καθηγητής της Ιατρικής Σχολής του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ και γενικός διευθυντής του Κέντρου για τα ΜΜΕ και την Παιδική Υγεία, στη Βοστώνη. «Η ανησυχία μας είναι ότι μεγαλώνουμε, διαπαιδαγωγούμε μια γενιά παιδιών μπροστά στις οθόνες, μια γενιά με εγκέφαλο διαφορετικό από το δικό μας», καταλήγει ο δρ Ριτς.

Ο Βισάλ είναι παιδί της εποχής του. Παρά τη νεαρή του ηλικία έχει γίνει ειδικός στη τεχνολογία. Στην αρχή της προτελευταίας χρονιάς στο Λύκειο ανακάλυψε ότι του αρέσει να δημιουργεί ταινίες και σιγά σιγά οι φίλοι και οι καθηγητές τού αναγνώρισαν το ταλέντο του. Επίσης, είναι ο άνθρωπος που επιδιορθώνει τις ηλεκτρονικές συσκευές της οικογένειας, βοηθάει, παραδείγματος χάριν, τον πατέρα του να ξαναβρεί κάποια έγγραφα που έχει χάσει στο κομπιούτερ, και τη μητέρα του, υπεύθυνη ασφάλειας του αεροδρομίου του Σαν Φρανσίσκο να αποκτήσει τη δική της ιστοσελίδα.

Ομως, παρά το βαρύ σχολικό του πρόγραμμα, περνά τουλάχιστον δέκα ώρες την εβδομάδα παίζοντας βιντεοπαιχνίδια, ενώ συχνά αναρτά σχόλια στο Facebook στις 2 τα ξημερώματα.

Οι καθηγητές τον θεωρούν έναν από τους πιο ευφυείς μαθητές του σχολείου και αναρωτιούνται γιατί δεν έχει καλύτερους βαθμούς,

«Είναι ένα παιδί παγιδευμένο ανάμεσα σε δύο κόσμους», εξηγεί ο διευθυντής του σχολείου του Βισάλ, Ντέιβιντ Ράιλι, «τον εικονικό και τον πραγματικό».

Παρότι γονείς και εκπαιδευτικοί εκφράζουν την ανησυχία τους για την «ψηφιακή διατροφή» των παιδιών τους, η χρήση τεχνολογίας στην τάξη ενισχύεται, καθώς πολλοί εκπαιδευτικοί πιστεύουν ότι αποτελεί τρόπο για να έρθουν σε επαφή με τα παιδιά να τα βοηθήσουν να αποκτήσουν κάποιες ικανότητες. Στις ΗΠA, τα σχολεία εξοπλίζονται με ηλεκτρονικούς υπολογιστές, πρόσβαση στο Διαδίκτυο και κινητά έτσι ώστε το «παιχνίδι της μάθησης» να γίνει με τα όπλα που αγαπούν και χρησιμοποιούν τα ίδια τα παιδιά.

Στο σχολείο του Βισάλ στη Σίλικον Βάλεϊ πολλά παιδιά από το πρωί έως το βράδυ στέλνουν εκατοντάδες μηνύματα στα κινητά, παίζουν βιντεοπαιχνίδια ή χρησιμοποιούν το Facebook.

Ο διευθυντής του σχολείου ο 37χρονος Ντέιβιντ Ράιλι δεσμεύεται να κάνει ό,τι μπορεί για να ξυπνήσει εκ νέου το ενδιαφέρον για μάθηση σε αυτούς τους μαθητές του 21ου αιώνα. Ζήτησε από τους καθηγητές να φτιάξουν ιστοσελίδες επικοινωνίας με τους μαθητές, οι οποίοι μπορούν να παρακολουθήσουν ειδικά μαθήματα για τη χρήση των νεώτερων μορφών τεχνολογίας για την καταγραφή της μουσικής. Κατάφερε να εξασφαλίσει χρηματοδότηση για ipad και εισέπραξε 3 εκατομμύρια δολάρια για την κατασκευή του κέντρου πολυμέσων.

Το σχολείο ανοίγει τις θύρες του στις 9 το πρωί, διότι όταν ξεκινούσαν τα μαθήματα νωρίτερα,τα παιδιά εμφανίζονταν με βλέφαρα σχεδόν κλειστά, αφού όλα σχεδόν είχαν ξενυχτήσει μπροστά στην οθόνη του κομπιούτερ. Η ανεξέλεγκτη χρήση των ψηφιακών συσκευών είναι δυνατόν να δημιουργήσει μια απόκοσμη πραγματικότητα.Τα παιδιά θα αποκτήσουν εξάρτηση από τον κυβερνοχώρο και τελικά θα χαθούν διά παντός σε αυτόν.

«Προσπαθώ να τα ξανακερδίσω, και να κινήσω το ενδιαφέρον τους, να τα “παρασύρω” μακριά από τα κινητά και τα κομπιούτερ. Και για να το επιτύχω αυτό χρησιμοποιώ τεχνολογία», εξηγεί ο κ. Ράιλι.

Ισορροπίες, όχι απαγόρευση

Μπορεί τα παιδιά να επιλέγουν την υψηλή τεχνολογία αφήνοντας πίσω τους τη «συμβατική» και σε πολλές περιπτώσεις ανιαρή σχολική μελέτη, αλλά η αλήθεια είναι ότι μόλις τώρα οι νευρολόγοι άρχισαν να αποκρυπτογραφούν τι συμβαίνει στους νεανικούς εγκεφάλους που έχουν διαρκή σύνδεση στο Διαδίκτυο και βρίσκονται σε επαφή - επικοινωνία με άλλους χρήστες του.

Για τις ανάγκες ενός πειράματος που πραγματοποιήθηκε στο Πανεπιστήμιο της Κολωνίας το 2007, αγόρια ηλικίας από 12 έως 14 ετών έπαιζαν επί μία ώρα κάθε βράδυ, αφού τελείωναν τα μαθήματά τους, βιντεοπαιχνίδια, ενώ κάθε δύο βράδια μπορούσαν να παρακολουθήσουν μια συναρπαστική κινηματογραφική ταινία όπως «Xάρι Πότερ» ή «Σταρ Τρεκ». Στόχος των ερευνητών ήταν να δουν με ποιον τρόπο επιδρούν στον αναπτυσσόμενο εγκέφαλο τα ηλεκτρονικά παιχνίδια και η τηλεόραση.

Όπως διαπιστώθηκε, η ενασχόληση με τα ηλεκτρονικά παιχνίδια επιδεινώνει την ποιότητα του ύπνου και μειώνει την ικανότητα των παιδιών να επαναφέρουν στη μνήμη τους τη δουλειά του σχολείου που είχαν προετοιμάσει στο σπίτι τις τελευταίες ημέρες. Συχνά, μάλιστα, δεν μπορούν να θυμηθούν καινούργιες λέξεις που απομνημόνευσαν.

Η μελέτη δημοσιεύθηκε στην επιστημονική επιθεώρηση Ρediatrics και προκάλεσε το ενδιαφέρον τόσο γονιών όσο και εκπαιδευτικών.

Οι νευρολόγοι δεν γνωρίζουν γιατί συμβαίνει αυτό, αλλά, σύμφωνα με τον δρα Μάρκους Ντβόρακ, ερευνητή στο Χάρβαρντ, κατά πάσα πιθανότητα ο εγκέφαλος των παιδιών όταν δέχεται κατακλυσμό πληροφοριών καλείται να επιλέξει ποιες θα αποθηκεύσει και ποιες θα πετάξει κυριολεκτικώς στα σκουπίδια. Προφανώς, διατήρησε τις πιο ενδιαφέρουσες. Επίσης, όπως αποδεικνύεται από άλλες μελέτες, ο εγκέφαλος για να απορροφήσει τη νέα γνώση χρειάζεται μια περίοδο ανάπαυσης. «Τα παιδιά βρίσκονται διαρκώς σε μια κατάσταση διέγερσης», εξηγεί ο δρ Ριτς της Ιατρικής Σχολής του Χάρβαρντ. Βέβαια, δεν προτείνει να πετάξουν οι νέοι τους υπολογιστές από τη ζωή τους και το σπίτι τους. Πρέπει, ωστόσο, να βρουν τις σωστές ισορροπίες όσον αφορά στην προσέγγιση που επιλέγουν προς αυτά τα νέα τεχνολογικά μέσα.

Καταστροφική για τις σχολικές επιδόσεις, η εμμονή με τους υπολογιστές

Πρόσφατες μελέτες αποδεικνύουν ότι οι νέοι άνθρωποι –και ιδιαίτερα οι έφηβοι– χρησιμοποιούν τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές και το Διαδίκτυο για να διασκεδάσουν, να παίξουν να ψυχαγωγηθούν και όχι για να αυξήσουν τις γνώσεις τους.

Η δικαιολογημένη αυτή νεανική τάση μπορεί να αποδειχθεί καταστροφική για τις σχολικές επιδόσεις, ιδιαίτερα όταν πρόκειται για παιδιά οικογενειών με χαμηλό εισόδημα, υποστηρίζει ο Τζέικομπ Λ. Βίγκντορ, καθηγητής Οικονομικών του Πανεπιστημίου Ντιουκ, ο οποίος συντόνισε τη σχετική μελέτη. Μάλιστα, όταν οι γονείς δεν παρακολουθούσαν για ποιους λόγους χρησιμοποιούσαν τα παιδιά τα κομπιούτερ τους, αυτά έκαναν ό,τι ήθελαν, χωρίς να φροντίσουν να είναι επιμελή στο σχολείο.

Επίσης, αρκετές έρευνες έδειξαν ότι οι μαθητές έχοντας συνηθίσει να «πετιούνται» από το ένα στο άλλο, ασχολούνται πότε με τα μαθήματά τους και πότε παίζουν παιχνίδια. Το Kaiser Family Foundation διαπίστωσε ότι οι μισοί μαθητές ηλικίας από 8 έως 18 ετών την ώρα που μελετούν τα μαθήματά τους χρησιμοποιούν το Ιντερνετ ή βλέπουν τηλεόραση.

Η ευρύτερη χρήση της τεχνολογίας δεν δημιούργησε μόνο νέες συνήθειες, δημιούργησε και νέους «τύπους» μαθητών. Στο παρελθόν, στα σχολεία υπήρχαν οι «σπασίκλες» και οι «αθλητές», ενώ σήμερα έχουν εμφανιστεί και άλλοι τύποι, όπως αυτοί που δεν αποχωρίζονται το κινητό τους, οι μανιώδεις με τα ηλεκτρονικά παιχνίδια, οι εθισμένοι στο Facebook και όσοι δεν ξεκολλάνε από το YouTube.

Ψηφιακή διαφυγή

Επίσης, όπως προειδοποιούν οι ειδικοί, η τεχνολογία και ιδιαίτερα η δικτύωση δεν καθιστά αυτομάτως πιο κοινωνικό τον μαθητή.

Η διαφυγή στον κόσμο των ηλεκτρονικών παιχνιδιών, βέβαια, χαρίζει στους εφήβους τη δυνατότητα να ελέγχουν κάπως τη χαώδη ζωή τους, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις τούς δίνει ηρεμία και ησυχία από τον περιβάλλοντα κόσμο.

Επίσης η ύπαρξη των νέων, πανίσχυρων κινητών τηλεφώνων επιτρέπει τη συνέχιση της διαδραστικής εμπειρίας σε κάθε χώρο όπου κινούμαστε, τόσο εμείς όσο και τα παιδιά. Ανάμεσα στα μαθήματα, την ώρα που τρώνε το μεσημεριανό τους στο σχολείο, όποτε και όπου επιτρέπεται η χρήση τέτοιων ηλεκτρονικών συσκευών, οι μαθητές μαζεύονται σε ομάδες, μιλάνε μεταξύ τους και ταυτόχρονα στέλνουν μηνύματα. Αλλοι κάθονται μόνοι και παρακολουθούν βίντεο, ακούν μουσική ή σχολιάζουν τις διάφορες αναρτήσεις και φωτογραφίες στο Facebook.

Βέβαια, πολλοί γονείς πιστεύουν ότι η σχέση των παιδιών τους με τους υπολογιστές είναι μια θετική εμπειρία ακόμα και όταν δεν ωφελεί την εκπαίδευση και γενικότερα τη μόρφωσή τους. «Οποιος δεν κατακτήσει την τεχνολογία, δεν θα μπορέσει να κατακτήσει ποτέ τη σύγχρονη ζωή ούτε να αναρριχηθεί στα ύπατα επαγγελματικά αξιώματα», λένε πολλοί γονείς και αφήνουν τα παιδιά εντελώς ανεξέλεγκτα μπροστά στις οθόνες των κομπιούτερ...

Πηγή: "Καθημερινή" 27/11/2010 |  Blog Νίκου Τομαρά

Το ηλιακό σύστημα


Γύρω από τον ήλιο περιφέρονται:
- Οι 9 πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος που είναι οι εξής: Ερμής, Αφροδίτη, Γη, Άρης, Δίας, Κρόνος, Ουρανός, Ποσειδώνας, και Πλούτωνας (βλ. σχήμα).
- οι αστεροειδείς (ή μικροί πλανήτες) που κινούνται ανάμεσα στον Άρη και το Δία.
-Μετέωρα και αστρική ύλη.
Ως Ηλιακό Σύστημα θεωρούμε τον Ήλιο και όλα τα αντικείμενα που συγκρατούνται σε τροχιά γύρω του λόγω της βαρύτητας. Τα αντικείμενα με τη μεγαλύτερη μάζα που περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο είναι οι πλανήτες που αναφέραμε, των οποίων οι τροχιές είναι σχεδόν εκλειπτικές και βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο που ορίζει η εκλειπτική. Οι τέσσερις, ο Ερμής, η Αφροδίτη, η Γη και ο Άρης αποτελούν του λεγόμενους Γήινους πλανήτες και αποτελούνται κυρίως από πετρώματα και μέταλλα (έχουν παρόμοια σύσταση και πυκνότητα με τη Γη). Οι υπόλοιποι πλανήτες ονομάζονται Δίιοι πλανήτες και είναι αέριοι γίγαντας. Από αυτούς οι δύο μεγαλύτεροι, ο Δίας και ο Κρόνος αποτελούνται από υδρογόνο και ήλιο και οι άλλοι δύο, ο Ουρανός και ο Ποσειδώνας αποτελούνται από νερό, αμμωνία και μεθάνιο.

Ανάλογα με τη θέση τους ως προς τη Γη οι πλανήτες διακρίνονται επίσης σε δύο κατηγορίες: Εσωτερικοί πλανήτες ονομάζονται η Αφροδίτη και ο Ερμής γιατί είναι ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο (βλ. σχήμα), ενώ οι υπόλοιποι πλανήτες ονομάζονται εξωτερικοί.

Οι αστεροειδείς ή αλλιώς "μικροί πλανήτες" είναι σώματα διαφόρων διαστάσεων που περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο σε τροχιές ανάμεσα στην τροχιά του Άρη και του Δία.
Οι κομήτες είναι επίσης μικρά σώματα με ακαθόριστο σχήμα, των οποίων οι τροχιές περνούν κοντά από τον Ήλιο και χάνονται βαθιά μέσα στο διάστημα.

Ο χώρος ανάμεσα στους πλανήτες τους αστεροειδείς και τους κομήτες περιέχει ύλη (μεσοπλανητική ύλη) που αποτελείται από στερεά σωμάτια, λεπτότατη σκόνη και ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.

Οι αποστάσεις μέσα στο ηλιακό σύστημα είναι πολύ μεγάλες για να μετρώνται σε χιλιόμετρα. Χρησιμοποιούμε γι' αυτό ως μονάδα μήκους την "Αστρονομική Μονάδα" (A.U.)
1 A.U. = 150'000'000 km = μέση απόσταση Γης-Ήλιου.

Για να είμαστε ακριβείς βέβαια, θα πρέπει να πάρουμε υπόψη μας και πολλά άλλα ουράνια σώματα που βρίσκονται πέρα από τη τροχιά του Ποσειδώνα. Σε αυτές τις περιοχές βρίσκονται πέντε  πλανήτες νάνοι, η Δήμητρα, η Χαουμέια, ο Μακιμάκι και η Έρις, και πολλά άλλα μικρότερα σώματα.


Ηλιοστάσια

Θερινό ηλιοστάσιο: Στις 22 Ιουνίου συμβαίνει το μέγιστο ύψος του Ήλιου το μεσημέρι να έχει τη μεγαλύτερη ετήσια τιμή του. (Ο Ήλιος είναι πιο ψηλά στον ουρανό σε έναν τόπο από κάθε άλλη μέρα την ίδια ώρα). Τότε συμβαίνει η ημέρα να έχει τη μεγαλύτερη διάρκειά της.

Χειμερινό ηλιοστάσιο: Στις 22 Δεκεμβρίου συμβαίνει το μέγιστο ύψος του Ηλίου να έχει την ελάχιστη ετήσια τιμή του και η μέρα να έχει την ελάχιστη διάρκεια της.

Τα παρακάτω σχήματα απεικονίζουν τις διαδοχικές θέσεις του ήλιου ανά ώρα, κατά τα δύο ηλιοστάσια, όπως φαίνονται από τη γη σε διαφορετικά γεωγραφικά πλάτη.

Day arcs at 0° latitude, equator
The day arc of the Sun, every hour, in the two solstices as seen on the celestial dome, from the equator. Also showing 'twilight suns' down to -18° altitude.

Day arcs at 20° latitude, equator

Day arcs at 50° latitude, equator

Day arcs at 70° latitude, equator

Day arcs at 90° latitude, pole


Η λέξη προέρχεται από το «ήλιος» και το «στέκομαι»/«στάση» επειδή κοντά στα ηλιοστάσια (λίγες ημέρες πριν ή μετά) ο Ήλιος φαίνεται να επιβραδύνει τη φαινομενική κίνησή του προς τα βόρεια ή προς τα νότια (κίνηση στην απόκλιση), μέχρι που την ημέρα του ηλιοστασίου αυτή η κίνηση μηδενίζεται και αντιστρέφεται.

Τα ηλιοστάσια, όπως και οι ισημερίες, συνδέονται αναπόσπαστα με τις εποχές του έτους. Σε κάποιες χώρες ή γλώσσες θεωρείται ότι αρχίζουν ή διαχωρίζουν τις εποχές, ενώ σε άλλες θεωρούνται τα κέντρα τους.

Τα ηλιοστάσια όπως και οι ισημερίες οφείλονται στην σταθερή γωνία που σχηματίζει ο άξονας περιστροφής της Γης με το επίπεδο της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο.

http://el.wikipedia.org/wiki/Ηλιοστάσιοhttp://en.wikipedia.org/wiki/Solstice

Το φαινόμενο της ισημερίας

Ισημερία είναι το φαινόμενο κατά το οποίο η διάρκεια την ημέρας και της νύχτας είναι ίσες. Επίσης τότε, κατά τη διάρκεια της μέρας οι ακτίνες του ηλίου πέφτουν με γωνία 90 μοιρών (κάθετα) στον ισημερινό, παρουσιάζοντας έτσι μηδενική απόκλιση και ο ήλιος ανατέλλει ακριβώς από το γεωγραφικό  σημείο της Ανατολής και δύει ακριβώς στο σημείο της Δύσης.
▪ Η εαρινή ισημερία γίνεται στις 21 Μαρτίου. (Κατά την εαρινή ισημερία αρχίζει η άνοιξη).
▪ Η φθινοπωρινή ισημερία γίνεται στις 23 Σεπτεμβρίου.
Το φαινόμενο οφείλεται στην περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο και στην κλίση του άξονα περιστροφής της. Καθώς η γη περιφέρεται γύρω από τον ήλιο και επειδή ο άξονας περιστροφής της δεν είναι κάθετος στο επίπεδο περιφοράς η διάρκεια της ημέρας αλλάζει.




Δύο φορές το χρόνο η γη βρίσκεται σε τέτοια θέση που οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν εντελώς κάθετα στον ισημερινό.


Στο σχήμα φαίνονται η φθινοπωρινή (Autumn) και εαρινή (Spring) ισημερία (equinox)

Οι ονομασίες εαρινή και φθινοπωρινή ισημερία αφορούν την εύκρατη ζώνη του βόρειου ημισφαιρίου καθώς στις αντίστοιχες ημερομηνίες στο νότιο ημισφαίριο υπάρχουν οι αντίθετες εποχές, ενώ στις δύο πολικές και την τροπική ζώνη δεν υπάρχει αυτή η διαφοροποίηση εποχών.

Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι διαδοχικές θέσεις του ήλιου στην ουράνια σφαίρα κάθε ώρα κατά τη διάρκεια της ισημερίας. Φαίνεται καθαρά ότι το ορατό τόξο που διανύει ο ήλιος (κατά την ημέρα) είναι όσο και το τόξο που διανύει παραμένοντας κρυμμένος (νύχτα).

 Day arc at 0° latitude (Equator)

 Day arc at 20° latitude

 Day arc at 50° latitude

 Day arc at 70° latitude

Day arc at 90° latitude (Pole)

Απαγωγή σε άτοπο

Πρόβλημα:
Μια γυναίκα και ένας άνδρας κάθονται σε δυο καρέκλες, ο ένας απέναντι από τον άλλον. Ένα άτομο έχει αμερικανική υπηκοότητα και το άλλο ρωσική, αλλά δεν ξέρουμε ποιος έχει τι.
«Είμαι Αμερικανίδα», λέει η γυναίκα.
«Είμαι Ρώσος», λέει ο άνδρας.

Γνωρίζουμε όμως την πληροφορία ότι σίγουρα: «Τουλάχιστον ένας από τους δυο τους λέει ψέματα».
Ποιος λέει ψέματα;

Στοιχεία Αστρονομίας Β΄Λυκείου

Κεφάλαιο 2 | Αστρονομικές παρατηρήσεις και όργανα


To τηλεσκόπιο Hubble
Ερωτήσεις


1. Ποια είναι τα βασικά χαρακτηρίστηκα της μεθόδου που χρησιμοποιούν η Φυσική, η Αστρονομία και τα τα Μαθηματικά;
- Η μέθοδος που ακολουθεί η Φυσική και η χημεία: Παρατήρηση του φαινομένου /  Διατύπωση υπόθεσης για την ερμηνεία του / Πείραμα στο εργαστήριο για επαλήθευση ή απόρριψη της υπόθεσης / Εξαγωγή συμπεράσματος / Κατασκευή θεωρητικού μοντέλου ή φυσικού νόμου.
- Η μέθοδος των Μαθηματικών: Διατύπωση ενός αριθμού αξιωμάτων και ορισμών και οικοδόμηση αληθών προτάσεων πάνω σε αυτά.
- Η Αστρονομία διαφέρει από τις άλλες φυσικές επιστήμες αφού ο έλεγχος και η εξέλιξη των κοσμολογικών μοντέλων επιτυγχάνεται μόνο με την παρατήρηση καθώς δεν είναι εφικτή η οργάνωση και εκτέλεση πειραμάτων. (σελ. 17)

2. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της Αστρονομικής παρατήρησης; Δηλαδή ποια είναι τα στάδια της και ποιες οι πληροφορίες που μας δίνει;
Στην Αστρονομία οι πληροφορίες και τα δεδομένα αντλούνται από τις ακτινοβολίες που φτάνουν στη Γη από τα ουράνια σώματα. Τα στάδια της αστρονομικής παρατήρησης είναι τα εξής τρία: α) συγκέντρωση, β) καταγραφή, γ) επεξεργασία, δ) ανάλυση της ακτινοβολίας που φτάνει στη Γη.
Τα αποτελέσματα που προκύπτουν σε συνδυασμό με τους νόμους της Φυσικής μας δίνουν πληροφορίες για τα ουράνια σώματα από τα οποία εκπέμπονται οι ακτινοβολίες και για τον μεσοαστρικό χώρο που διέσχισαν μέχρι να φτάσουν στη Γη.
3. Αναφέρετε κάποια από τα αστρονομικά όργανα που χρησιμοποιούνται σήμερα.
- Τηλεσκόπια: Συλλέκτες ακτινοβολίας
- Φασματογράφοι και μαγνητογράφοι: αναλύουν τα δεδομένα που συλλέγουμε με τα τηλεσκόπια
- Καταγραφή των δεδομένων από τους δέκτες: φωτογραφική πλάκα, ραδιοδέκτες
- Επεξεργασία και μετρήσεις με χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Με τη σύγχρονη τεχνολογία τα σήματα και τα δεδομένα μετατρέπονται σε εικόνα στην οθόνη για περαιτέρω επεξεργασία και ανάλυση.
4. Για ποιο λόγο τοποθετούνται τηλεσκόπια σε τροχιά γύρω από τη Γη, παρά το μεγάλο τους κόστος;
Η γήινη ατμόσφαιρα είναι διαφανής μόνο στα αστρονομικά παράθυρα, δηλαδή: για τις ακτινοβολίες της οπτικής περιοχής του φάσματος, μέρος της υπέρυθρης περιοχής και της περιοχής των ραδιοκυμάτων. Όμως τα ουράνια σώματα εκπέμπουν ακτινοβολίες σε κάθε περιοχή του φάσματος, δηλαδή επιπλέον στην υπεριώδη περιοχή και στις περιοχές ακτίνων Χ και γάμμα, οι οποίες δε συλλέγονται από τα γήινα τηλεσκόπια.
Επίσης οι θερμοκρασιακές διακυμάνσεις και τα καιρικά φαινόμενα της γήινης ατμόσφαιρας (τα σύννεφα π.χ.) παραμορφώνουν τα παρατηρούμενα αντικείμενα. Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται και με γυμνό μάτι: πρόκειται για το τρεμόσβημα των αστεριών στον νυχτερινό ουρανό που οφείλεται στις συνεχείς και απρόβλεπτες μεταβολές της πυκνότητας των ατμοσφαιρικών στρωμάτων.
Συνοψίζοντας, με τα διαστημικά τηλεσκόπια συλλέγουμε ακτινοβολίες οι οποίες δεν ανήκουν στα αστρονομικά παράθυρα και άρα που δεν είναι ανιχνεύσιμες από τα επίγεια τηλεσκόπια. Επίσης έχουμε εικόνα χωρίς τις παραμορφώσεις που προκαλούν οι διαταραχές της ατμόσφαιρας.
5. Με ποιο τρόπο μας βοηθούν τα τηλεσκόπια να δούμε καλύτερα ένα αντικείμενο; Με ποια κριτήρια αξιολογούμε ένα τηλεσκόπιο;
Για να δούμε ένα αντικείμενο πρέπει να φτάσουν στο μάτι μας φωτόνια που εκπέμπονται από αυτό. Όσα περισσότερα φωτόνια φτάνουν, τόσο λαμπρότερο και καθαρό το βλέπουμε. Κάθε αστέρας εκπέμπει έναν μεγάλο αριθμό φωτονίων ανά δευτερόλεπτο τα οποίο διασκορπίζονται με την ίδια πιθανότητα προς κάθε κατεύθυνση του χώρου. Επειδή η απόσταση μέχρι τη Γη είναι μεγάλη, το αποτέλεσμα είναι να φτάνει στην κόρη του ματιού μας ένα πολύ μικρό μέρος των φωτονίων αυτών. Το μάτι μας εξάλλου έχει στο σκοτάδι διάμετρο μόλις 8 χιλιοστά. Άρα αν χρησιμοποιήσουμε τηλεσκόπιο με φακό ή κάτοπτρο πολύ μεγαλύτερο (500 χιλιοστά π.χ.) και καταφέρουμε να συγκεντρώσουμε τα φωτόνια που προσπίπτουν στην επιφάνεια του με κατάλληλο τρόπο στο μάτι μας, τότε η εικόνα που θα σχηματιστεί θα είναι λαμπρότερη και διαυγέστερη από αν παρατηρούσαμε με γυμνό μάτι. 
Άρα η λειτουργία ενός τηλεσκοπίου είναι η συγκέντρωση όσο το δυνατόν περισσότερων φωτονίων από την ακτινοβολία που εκπέμπει ένα ουράνιο σώμα.
Τα τηλεσκόπια αξιολογούνται με βάση:
- τη διακριτική τους ικανότητα: δηλαδή την ικανότητα να διακρίνουμε ξεχωριστά δύο αντικείμενα με μικρή γωνιακή απόσταση (που με γυμνό μάτι θα φαίνονταν ως ένα αντικείμενο)
- τη μεγεθυντική τους ισχύ: δηλαδή τη φαινόμενη αύξηση του μεγέθους του παρατηρούμενο αντικειμένου (ζουμ). 
6. Ποιοι τύποι τηλεσκοπίων χρησιμοποιούνται;
Α. Τα οπτικά τηλεσκόπια: συγκεντρώνουν ακτινοβολίες από την ορατή περιοχή του φάσματος και διακρίνονται σε διοπτρικά αν χρησιμοποιούνται φακοί ή κατοπτρικά αν χρησιμοποιούνται κάτοπτρα.
Β. Τα ουράνια σώματα όμως εκπέμπουν ακτινοβολία σε όλες της περιοχές του Ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Δηλαδή στην περιοχή των ραδιοκυμάτων, στο υπέρυθρο, στο υπεριώδες, στις ακτίνες Χ και γ. Άρα χρησιμοποιούνται και τα αντίστοιχα όργανα παρατήρησης: Τα ραδιοτηλεσκόπια τα οποία συλλέγουν ραδιοκύματα, τα τηλεσκόπια υπέρυθρου, τηλεσκόπια υπεριώδους και τηλεσκόπια ακτίνων Χ και γάμμα. Τα τηλεσκόπια αυτά για λόγους που αναφέραμε τοποθετούνται σε αστρονομικούς δορυφόρους τοποθετημένους σε τροχιά γύρω από τη Γη.
7. Τι ονομάζουμε "αστρονομικά παράθυρα"; 
Η γήινη ατμόσφαιρα είναι διαφανής μόνο για τις ακτινοβολίες που ανήκουν στην οπτική περιοχή του φάσματος, σε ένα μέρος της περιοχής του υπερύθρου και στα ραδιοκύματα. Οπτικά παράθυρα ονομάζονται οι περιοχές του φάσματος των ακτινοβολιών αυτών οι οποίες φτάνουν στη Γη.  
9. Τι αποκαλούμε "ουράνια σφαίρα"; 
Τα ουράνια σώματα φαίνονται από τη Γη σαν να βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια μιας γιγαντιαίας σφαίρας, απροσδιόριστης ακτίνας, με κέντρο τη Γη. Τη φανταστική αυτή σφαίρα τη λέμε "ουράνια σφαίρα".
10. Τι αποκαλούμε "ορίζοντα" ενός τόπου; 
Η ουράνια σφαίρα και η Γη μοιάζει σε εμάς να συναντιούνται σε ένα μεγάλο φανταστικό κύκλο γύρω από εμάς, ο οποίος ονομάζεται ορίζοντας του τόπου που βρισκόμαστε. Ο ορίζοντας δημιουργεί την αίσθηση του πάνω και του κάτω.


9. Τι είναι ονομάζουμε στην Αστρονομία Ζενίθ και Ναδίρ;
Η (νοητή) κατακόρυφη ευθεία ενός τόπου συναντά την "ουράνια σφαίρα" σε δύο υποθετικά σημεία, που ονομάζονται Ζενίθ και Ναδίρ ενός τόπου. (Δηλ. το ύψος του ζενίθ είναι 90 μοίρες και βρίσκεται πάνω από το κεφάλι μας).
10. Τι ονομάζεται κατακόρυφος ενός αστέρα;
Κατακόρυφος ενός αστέρα ονομάζεται ο κατακόρυφος κύκλος που περνά από το Ζενίθ, το Ναδίρ και τον αστέρα αυτόν.
11.  Τι ονομάζεται ύψος ενός αστέρα;
Ύψος ενός αστέρα είναι η γωνιακή απόσταση του αστέρα από το σημείο τομής του ορίζοντα με τον κατακόρυφο κύκλο που περνά από τον αστέρα αυτόν.
12. Τι ονομάζεται αζιμούθιο ενός αστέρα;
Αζιμούθιο ενός αστέρα ονομάζουμε την γωνιακή απόσταση του γεωγραφικού Βορά με το σημείο τομή της κατακόρυφης του αστέρα με τον ορίζοντα.



Ύψος (κόκκινο χρώμα) και αζιμούθιο (κίτρινο χρώμα) ενός αστέρα
http://geogr.eduportal.gr/astronomy/asteres-asterismoi/ast3.htm 

Το ύψος ενός αστέρα και το αζιμούθιο ενός αστέρα αποτελούν τις οριζόντιες συντεταγμένες του. 

13. Τι ονομάζεται γωνιακή απόσταση δύο ουράνιων σωμάτων;
Γωνιακή απόσταση μεταξύ δύο ουράνιων σωμάτων ονομάζεται η γωνία που σχηματίζουν οι οπτικές ακτίνες που ενώνουν τα δύο ουράνια σώματα με το μάτι του παρατηρητή.

14. Ποιο ήταν το βασικό επιχείρημα εναντίον του ηλιοκεντρικού μοντέλου κατά την αρχαιότητα;
Κανένας αρχαίος πολιτισμός δεν είχε καταφέρει να παρατηρήσει μεταβολές στις γωνιακές αποστάσεις μεταξύ των αστέρων στη διάρκεια ενός έτους. Το ηλιοκεντρικό μοντέλο θα απαιτούσε μια τέτοια μεταβολή που όμως δεν μπορούσε να γίνει αντιληπτή με γυμνό μάτι λόγω της μεγάλης απόστασης. Σήμερα όμως με τα σύγχρονα τηλεσκόπια μπορούμε να παρατηρήσουμε τη μεταβολή αυτή μολονότι είναι αρκετά μικρή.